Matemáticas

Aplicaciones y funciones. El carácter abstracto y complejo del razonamiento matemático ha llevado a menudo a plantear argumentaciones aparentemente contradictorias que alimentan un extenso repertorio de curiosidades matemáticas. Uno de ellos es la denominada paradoja de Galileo. En Dos nuevas ciencias, trabajo postrero en la vida de este sabio del siglo XVII, se plantea una afirmación paradójica dentro del conjunto de los números enteros. Como ya se sabe, algunos enteros son cuadrados perfectos, como 4, 9, 16, 25, 36, etc. Ello significaría que el conjunto de los números cuadrados es menor en número de elementos que el de los números enteros, que los incluye a ellos pero también a los no cuadrados. Sin embargo, por cada número cuadrado existe un número entero que es su raíz cuadrada (por ejemplo, 4 es cuadrado de 2, 9 de 3, etc.), y por cada entero hay exactamente un cuadrado. Ello significaría que no debería haber mayor número de unos que de otros, en una asociación entre...

Muy a menudo, las proposiciones pueden expresarse mediante diagramas de Venn, lo que las hace muy adecuadas para ver gráficamente la validez de los razonamientos. Por ejemplo, si se consideran los conjuntos de los cuadriláteros, los rectángulos y los cuadrados, teniendo en cuenta las relaciones de inclusión existentes entre ellos, podría hacerse la siguiente representación:. Cuadriláteros. Rectángulos. Cuadrados. Naturalmente, los diagramas de Venn pueden ser empleados para conjuntos disjuntos, es decir, sin elementos comunes. Por ejemplo:. Cuadriláteros. Círculos. Los diagramas de Venn tienen una importante aplicación en los silogismos. Un silogismo es un razonamiento que se compone de dos premisas (mayor y menor) y de una conclusión. Por ejemplo, la argumentación:. Todos los hombres son mortales Premisa mayor. Juan es hombre Premisa menor. Juan es mortal Conclusión. Se ha hecho a través de un silogismo. En su lógica, Aristótelesclasificaba a las premisas en los...

Recibe el nombre de cardinal de un conjunto el número de elementos del mismo. El cardinal del conjunto A se suele representar por N(A). Así por ejemplo, si:. A = {a, b, c, d} N(A) = 5. Esta definición permite introducir el concepto de conjuntos equipotentes.Dos conjuntos, A y B, se llaman equipotentes (lo que se expresa por la notación ) si se puede establecer entre ellos una correspondencia biyectiva, lo que equivale a decir que tienen igual número de elementos. La idea dada de equipotencia es muy clara cuando se trata de conjuntos finitos, pero no lo es tanto cuando se consideran conjuntos infinitos. Georg Cantor aclaró esta situación afirmando que un conjunto es infinito cuando es equipotente a uno de sus subconjuntos. La validez de este aserto puede comprobarse tomando el conjunto de los números naturales, N, y el subconjunto, P, formado por los naturales pares. Dados dos conjuntos, A y B, si se considera el conjunto intersección de ambos, se verifica que:. Por ejemplo, si...

La forma general de un determinante de Vandermonde es la siguiente:. Se trata, pues, de un determinante de orden n cuya primera fila tiene todos sus elementos iguales a 1, mientras que la segunda fila está formada por números reales cualesquiera. A partir de ella, las filas siguientes tienen sus elementos iguales a las potencias segunda, tercera,..., n-1 de los correspondientes elementos de dicha segunda fila. Así, por ejemplo, el determinante de Vandermonde de tercer orden sería:. Para resolverlo, se restará de la segunda fila la primera, previamente multiplicada por a y también de la tercera fila la segunda, multiplicada previamente por a, con lo que se tendrá:. = = =. (b-a)·(c-a)· = (b-a)·(c-a)·(c-b). Nótese que en la igualdad anterior se ha pasado del primer determinante (tercer orden) al siguiente (segundo orden), desarrollando por los elementos de la primera columna. A continuación se ha extraído factor común en los elementos de la segunda fila y, luego, esos factores...

Se llama diagramas lineales a las representaciones de conjuntos mediante rectas o segmentos. Cabe distinguir los siguientes tipos:. De un solo conjunto. Se efectúa mediante una recta en la que, por medio de trazos o puntos, se sitúan los elementos del conjunto. Así, por ejemplo, el conjunto A {a, b, c, d} se representaría por:. a b c d. La representación de las paradas de un autobús que aparece habitualmente en las placas de información es un ejemplo práctico de este tipo de diagramas. De más de un conjunto En este caso, si existen, pueden ponerse de relieve las relaciones de inclusión. Se establece una jerarquía que coloca a los conjuntos tanto más arriba cuanto más extensos sean. Así, si , se dibujaría:. B. A. Otro tanto sucedería si se tratara de tres conjuntos A, B y C, entre los que hubiera la relación de inclusión . En este caso, la representación sería:. C. B. A. Si en la inclusión hay conjuntos de la misma importancia, además de la jerarquización anterior, esa...

En el transcurso de muchos problemas aparecen ecuaciones de grado superior al tercero que es necesario resolver. Seguidamente se analizarán estos casos, recordando que una ecuación polinómica puede tener:. Raíces enteras. Raíces fraccionarias. Raíces irracionales. Raíces complejas. Se considerarán únicamente los dos primeros casos. Además, también debe recordarse que:. Toda ecuación de grado n, con coeficientes reales, posee n soluciones (reales o complejas). Si una ecuación con coeficientes reales admite la solución compleja a + bi, admite también su conjugada, a – bi. Por otra parte, dada:. a0 xn + a1 xn-1+ a2xn-2+....+an = 0. de sus n soluciones, x1, x2, ..., xn, puede suceder que p de ellas sean iguales. Es decir:. Con lo que se dice que t es una raíz múltiple de orden p. Dependiendo de sus raíces, la ecuación anterior puede escribirse en la forma:. a0 (x – x1). (x – x2).(x – x3)…(x - xn) = 0. Cálculo de raíces enteras. Dada la ecuación polinómica P(x) = 0, la...

Dado un conjunto, C, cuyos elementos se denominan vectores y un cuerpo conmutativo, K, llamado dominio de operadores y cuyos elementos reciben el nombre de escalares, diremos que el conjunto C tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo K cuando existe:. Una ley de composición interna en el conjunto C, que simbolizaremos por +, tal que:. Es asociativa, por lo que:. Es conmutativa. Es decir:. Tiene elemento neutro, , lo que significa que:. Cada elemento de C posee un elemento simétrico:. En definitiva, C, respecto a la ley interna + tiene estructura de grupo abeliano. Una ley de composición externa sobre C, con K como dominio de operadores y que se representa por ·, poseedora de las siguientes propiedades:. Distributiva respecto a los vectores. Es decir, que:. Distributiva respecto a los escalares:. Asociativa respecto a los escalares, lo que significa que:. Elemento neutro. Éste es el 1, ya que:. A título de ejemplo, cabe recordar que una matriz es un conjunto...

Se llama álgebra booleana, o de Boole, a un conjunto C en el que se han definido dos operaciones (simbolizadas, respectivamente por ) que cumplen las siguientes condiciones:. Las operaciones son conmutativas. Los elementos neutros respecto a son el 0 y el 1 y ambos pertenecen a C. Cada operación es distributiva respecto a la otra:. Si se tiene un álgebra booleana, C,se llama función booleana a cualquier combinación de sus elementos, siempre que éstos estén en número finito, mediante las operaciones , las cuales, para mayor simplificación, se suelen sustituir por los signos + y · . En un circuito, una función booleana expresa la relación de dependencia existente entre unas variables de entrada y el valor de la variable de salida. Por otra parte, este tipo de funciones puede adoptar diversas formas, que van desde los enunciados que las definen, hasta su expresión algebraica. En general, se busca siempre convertir los requisitos de los enunciados de partida en una forma...

Como se sabe, una relación binaria es un criterio que, aplicado a un conjunto, permite saber si dos elementos cualesquiera del mismo están o no asociados entre sí, mediante esa relación. Generalmente, el símbolo de relación se indica por R y el de no relación por /R, por lo que:. a R b. significa que los elementos a y bestán relacionados, mientras que:. a /R b. indica que los elementos a y bno están relacionados. Por ejemplo, si se considera el conjunto: {España, Francia, Inglaterra, Madrid, París, Londres} y se establece en él la relación “ser capital de”, lo que significa que dos elementos están relacionados cuando uno es la capital del otro, se tendrá que:. Madrid R España. París R Francia. Londres R Inglaterra. Madrid /R Francia. España /R Inglaterra. El grafo de una relación es una representación gráfica de las relaciones binarias, que sirve para visualizar los elementos que están asociados entre sí y los que no lo están. Para ello, los elementos relacionados se unen...

Los homomorfismos son relaciones entre estructuras algebraicas. Antes de proceder a su definición, conviene repasar algunas nociones previas. Como se sabe, un conjunto Ctiene estructura de grupo (C, *)con respecto a una ley de composición interna cuando presenta la propiedad asociativa respecto a esa ley y tiene elemento neutro y simétrico. Si, además, posee la propiedad conmutativa, el grupo se llama abeliano. Un anillo (C, *, T)es un conjunto, C, dotado de dos leyes de composición interna (* y T), tal que con respecto a la primera, Ctiene estructura de grupo abeliano y con respecto a la segunda es semigrupo. Además, la segunda ley debe ser distributiva con respecto a la primera. Si, después de esto, la segunda ley es conmutativa, el anillo se dice abeliano. Así pues, en un anillo de esta clase, se cumplen las siguientes propiedades:. Primera ley:. Propiedad asociativa:. Propiedad conmutativa:. Elemento neutro:. Elemento simétrico:. Segunda ley:. Propiedad asociativa:. ...

La palabra algebrista presenta una curiosa doble acepción: es el cultivador del álgebra, disciplina matemática, pero también el cirujano dedicado a componer la dislocación de huesos. Con tal sentido aparece en la segunda parte de El Quijote, donde se entiende el álgebra como «el arte de concertar los huesos desencajados y quebrados». No obstante, la etimología del término parece clara. El vocablo álgebra proviene del árabe al-jabr, «reducción y cotejo», contenido en el título de una de las obras más célebres de un no menos afamado matemático persa del siglo IX: Al-Kitab al-jabr wal-Muqabala (Reglas de restauración y reducción), de Abú Abdalá Mohamed Ben Musa al-Jwarizmi, también conocido como Abu Yafar. La aportación a la ciencia universal del sabio persa, miembro sobresaliente de la Casa de la Sabiduría fundada por el califato abásida en Bagdad, no se limita a haber aportado los métodos más comunes de resolución de ecuaciones algebraicas que se estudian en los cursos de enseñanza...

Las leyes de composición pueden ser de dos clases: interna y externa. Dado un conjunto, C, recibe el nombre de ley de composición interna en dicho conjunto un criterio que asocia a dos elementos cualquiera de ese conjunto otro elemento también perteneciente al conjunto. Representando la ley genéricamente por el símbolo *, debe suceder que:. Por ejemplo, si se considera el conjunto de los números naturales N, la suma es una ley de composición interna en ese conjunto ya que, dados dos números naturales cualquiera, su suma es también un número natural. No sucedería así con la resta o el cociente, pues la diferencia o la división de dos números naturales no siempre es un número natural. En definitiva, una ley interna es una aplicación del conjunto C x C (producto cartesiano del conjunto C por sí mismo) en el propio C. Es decir:. * : C x C C. Una ley de composición interna puede tener las siguientes propiedades:. Asociativa, cuando. Conmutativa, si. Existencia de elemento neutro,...

Una proposición es un enunciado del que se puede afirmar, sin duda alguna, la veracidad (simbolizada por V) o falsedad de su contenido (representada por F). Por ejemplo, son proposiciones “los dientes están en la boca” o “Napoleón Bonaparte fue un ilustre albañil”, pero, “como mesa agua”, “ojalá me toque la lotería” o bien “el Guernica es el mejor cuadro del mundo” no lo son. Como puede observarse, en los dos primeros enunciados se dispone de criterios anatómicos e históricos, respectivamente, que permiten aseverar la veracidad o falsedad de la afirmación. No sucede así con los tres últimos, ya que “como mesa agua” es una incoherencia, “ojalá me toque la lotería” expresa un simple deseo y, finalmente, la calidad del Guernica es materia opinable. En resumen, un conjunto de palabras forma una proposición cuando tiene sentido gramatical y cumple la llamada ley del tercio excluido. Según esta ley, debe poder afirmarse tajantemente su veracidad o falsedad, sin que puedan considerarse...

Denominados en honor a su inventor, Maurice Karnaugh, los mapas de Karnaugh constituyen una herramienta de gran utilidad para simplificar funciones booleanas. Su fundamento se basa en la identidad:. a · b + a · = a. Para aplicar estos mapas, en primer término es preciso diseñar una tabla en la que se recojan todas las posibilidades existentes para las variables que intervengan en la función que se considera. Por ejemplo, si hay dos variables, A y B, la tabla es:. Si se tratara de tres variables, la tabla sería:. Los valores 0 y 1 de A corresponden, respectivamente, a y a A. Lo mismo sucede para cualquier otra variable. Para simplificar una función booleana, se marca con un señal, generalmente el guarismo 1, en las casillas de la tabla que señalen los diferentes términos de dicha función; después se agrupan casillas adyacentes. Cada agrupación se denomina lazo, y para determinar cada lazo se debe tener en cuenta la siguiente normativa:. Cada lazo debe contener el máximo número...

Matrices de números reales. En 2005 el sudoku, un juego originario de Suiza y recreado en Japón, alcanzó una extraordinaria difusión internacional y empezó a alimentar las páginas de pasatiempos de periódicos y revistas de todo el mundo. Este entretenimiento consiste en rellenar con las cifras del 1 al 9 nueve cuadrados de nueve números dispuestos en nueve columnas y nueve filas de manera que en cada cuadrado, fila y columna no se repita ningún número. La base del sudoku es un artificio matemático conocido desde muy antiguo por el nombre de cuadrado latino. Los cuadrados latinos del sudoku son matrices de tres filas y tres columnas que se rellenan con números que no se repiten en cada fila y en cada columna. Este pasatiempo recuerda a otro de índole puramente matemática denominado cuadrado mágico: una matriz de tres filas por tres columnas en cuyas intersecciones se escriben, sin repetirse, los números del 1 al 9. En este caso, el objetivo es conseguir que los números de cada fila...

La resolución de ecuaciones algebraicas representa uno de los afanes más antiguos de las matemáticas. En sí, las ecuaciones suponen un intento de expresar de modo abstracto las relaciones entre las cantidades numéricas. Permiten plantear problemas de manera general y determinar sus soluciones sin necesidad de realizar cálculos tentativos ni de aplicar métodos indirectos o de aproximación. En las tablillas cuneiformes (es decir, con marcas en forma de cuña) conservadas de la civilización mesopotámica y otras fuentes de la historia antigua se conservan vestigios de planteamientos matemáticos próximos a las ecuaciones de la actualidad. Muchos de ellos hablan de la universalidad del razonamiento humano, pues poseen un nivel de abstracción tan propio de aquellos tiempos lejanos como del hombre contemporáneo. De algún modo, la historia de las matemáticas ha consistido en una búsqueda continua del perfeccionamiento de un sistema de expresión de signos capaz de formular las ideas más...

Como elementos teóricos previos, debe recordarse que:. Si todos los elementos de una alineación (fila o columna) se multiplican por un mismo escalar, k, el determinante queda multiplicado por k. Si se cambian de lugar entre sí dos alineaciones paralelas, el determinante cambia de signo, pero mantiene su valor absoluto. La suma de los productos de los elementos de una alineación por los adjuntos de otra alineación paralela a ella es igual a cero. En un determinante, se puede sumar a los elementos de una alineación los de otra paralela, multiplicados previamente por un escalar, sin que dicho determinante se altere. Si en un determinante una alineación es igual a la suma de otras paralelas multiplicadas por escalares cualquiera, el determinante es nulo. Si un determinante tiene dos líneas paralelas iguales, es nulo. Al margen de reglas especiales para obtener un determinante, un método general para lograr su valor es desarrollarlo por los elementos de una línea, empleando los...

Brevemente, debe recordarse que:. Si dos matrices son iguales, sus elementos homólogos deben ser iguales. Es decir:. A = B. Para multiplicar un escalar por una matriz, se multiplica dicho escalar por cada elemento de la matriz. La suma algebraica de varias matrices es igual a otra matriz, cuyos términos son la suma algebraica de los términos homólogos de esas matrices. Sólo son sumables matrices de las mismas dimensiones. El producto de dos matrices (de dimensiones n x m y m x p, respectivamente), A y B, es otra matriz, C, tal que:. cij = ai1· b1j + a12 · b2j + ... + aim· bmj. Problema 1. Dadas las matrices:. hallar una matriz, X, tal que:. 3 A – 4 X = B. Solución. La matriz buscada debe ser de dimensiones 2 x 2. Sea:. Entonces debe cumplirse que:. Operando:. La igualdad anterior implica que:. 1 2 – 4 a = 12. 3 – 4 b = -9. -6 - 4 c = - 10. 15 – 4 d = 7. Resolviendo el sistema:. a = 0 ; b = 3 ; c = 1 ; d = 2. Con lo que la matriz buscada es:. Problema 2. Dada la...

Se contemplarán cuatro facetas de estos problemas: definición y método general de resolución, problemas de móviles, problemas de mezclas y problemas de aleaciones. Las tres últimas son muy características en este tipo de cuestiones. Los problemas de primer grado son aquellos que se resuelven mediante el empleo de ecuaciones o sistemas de primer grado. En general, la técnica que se aplicará consta de tres pasos:. Denominar a las magnitudes desconocidas o incógnitas mediante letras (generalmente, se elige x, y, z). Plantear una ecuación o sistema, basada en los datos del problema, que relacione éstos con las incógnitas. Resolver la ecuación o sistema obtenida en el paso anterior. Ejemplo: Hallar tres números pares consecutivos, cuya suma sea 66. Dado un número par, el consecutivo se obtiene sumando 2 unidades al anterior, luego, si se llama x al primero de los números buscados, éstos serán:. x ; x + 2 ; x + 4. Teniendo presente la condición impuesta por el enunciado:. . ...

Reciben el nombre de problemas de segundo grado los que pueden resolverse mediante ecuaciones o sistemas de segundo grado. Se considerarán dos aspectos: la técnica de resolución de sistemas de segundo grado y los problemas cuyo planteamiento conduce a éstos o a una simple ecuación, también de primer grado. Resolución de sistemas: Un sistema de segundo grado está formado por una ecuación de primer grado y otra de segundo. Tiene siempre dos soluciones. El método general para resolverlo consiste en despejar una incógnita en la ecuación de primer grado y sustituirla en la de segundo grado. Una vez resuelta ésta, por sustitución del resultado en la anterior se tendrá todas las soluciones buscadas. Problema 1. Resolver:. x 2 + y2 = 10. x – 2y = 1. Solución. Despejando x en la ecuación de primer grado:. x = 1 + 2y (1). Sustituyendo en la de segundo grado:. (1 + 2y)2 + y2 = 10 1 + 4y2 + 4y + y2 = 10 5y2+ 4y – 9 = 0. Una vez resuelta, esta ecuación de segundo grado proporciona las...